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By Walter Enders

ISBN-10: 0471039411

ISBN-13: 9780471039419

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Wir werden also die zweite Zeile und die zweite Spalte jeweils zur ersten machen durch einfachen Tausch mit der ersten Zeile und Spalte. Das f¨ uhrt zu ⎞ ⎛ 4 0 0 0 ⎜ 0 4 2 2 ⎟ ⎟ A=⎜ ⎝ 0 2 5 3 ⎠. 0 2 3 4 Hier sieht man, daß z. B. 4 ein Eigenwert von A ist. Die Determinante von A berechnet man als das Produkt von 4 mit der Determinante der verbleibenden (3 × 3)–Matrix. Eine einfache hinreichende Bedingung daf¨ ur, daß eine Matrix nicht zerf¨allt, darf nicht fehlen. 42 Eine (n × n)–Matrix A = (aij ), deren Nebendiagonalelemente ai,i+1 und ur 1 ≤ i ≤ n − 1 nicht verschwinden, ist nicht zerfallend.

0 ⎠ ⎠ ⎝ .. ⎝ .. ··· 1 0 ··· 0 Wir fassen das im folgenden Algorithmus zusammen. 6 L–R–Zerlegung 45 Durchfu ¨hrung der L–R–Zerlegung Man bestimme die zur Elimination erforderlichen Frobeniusmatrizen wie oben beschrieben und bilde A → → F1 · A F2 · F1 · A ··· → Fn−1 · Fn−2 · · · F2 · F1 · A = R. 57) L Hier haben wir weidlich ausgenutzt, daß sich die inverse Matrix einer Frobeniusmatrix so puppig leicht bestimmen l¨ aßt, halt nur durch Vorzeichenwechsel. Das Produkt dieser inversen Matrizen von Frobeniusgestalt ist dann die gesuchte untere Dreiecksmatrix L.

1/2 n x 2 2 |xi | := . 23) i=1 Interessant wird es, wenn wir p → ∞ betrachten. Hier ist einsichtig, daß bei der p–ten Potenz nur noch die betragsm¨ aßig gr¨ oßte Komponente eine Rolle spielen wird, wenn p erst hinreichend groß wird. Dann wird durch die anschließende p–te Wurzel die Potenz wieder aufgehoben. Wir k¨ onnen damit also eine sehr einfache Norm definieren, n¨amlich die Maximumnorm x ∞ := max |xi |. 4 Vektor– und Matrix–Norm 29 Das sind ganz sch¨ one Unterschiede. Oftmals sitzt man in der Bredouille, daß man die Qual der Wahl hat mit den Normen.

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Applied Econometric Time Series by Walter Enders

by Richard

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